Theo thầy Đỗ Văn Bảo là giáo viên dạy Toán, Trung tâm Tuyển sinh 247, đề thi môn Toán có cấu trúc không thay đổi nhiều so với những năm trước năm học 2020 – 2021. Đề thi gồm 5 bài bới các cấu phần các năm học trước đó, thời gian làm bài thi của học sinh là 120 phút không thay đổi so với thời gian làm bài thi của các năm học trước 2020 – 2021.
Đề thi đáp ứng được yêu cầu kiểm tra, đánh giá học sinh và có yếu tố phân hóa, Hàm lượng kiểm tra kiến thức và kỹ năng cơ bản cao, không đánh đó học sinh. Học sinh chỉ cần có thời gian ôn luyện, thực hành giải tốt các dạng toán cơ bản và làm bài thi cần thận thì hoàn toàn có thể hoàn thành 75 – 80% đề thi một cách nhanh chóng. Một số câu phân hóa học sinh nhưng không quá khó, các em vẫn có thể tư duy để tìm hướng giải quyết.
Dưới đây, các giáo viên Ban chuyên môn Tuyensinh247.com hướng dẫn giải chi tiết đề thi vào lớp 10 năm học 2022 – 2023 môn Toán ở Hà Nội:
Bài I (2,0 điểm)
Cách giải:
Cho hai biểu thức và với .
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.
Với x = 9 thỏa mãn điều kiện, thay vào A, ta được:
Vậy với x = 9 thì .
2) Chứng minh .
Với , ta có:
Từ đó, ta có điều phải chứng minh.
3) Tìm số nguyên dương x lớn nhất thỏa mãn
Ta có:
Để
Vì
Do đó,
Kết hợp điều kiện: .
Mà x là số nguyên dương lớn nhất nên x = 35
Vậy x = 35.
Bài II (2 điểm):
Cách giải:
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ địa điểm A và đi đến địa điểm B. Do vận tốc của ô tô lớn hơn
vận tốc của xe máy là 20 km/h nên ô tô đến B sớm hơn xe máy 30 phút. Biết quãng đường AB dài 60 km,
tính vận tốc của mỗi xe. ( Giả định rằng vận tốc mỗi xe là không đồi trên toàn bộ quãng đường AB).
Đổi 30 phút = (h)
Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h) (x > 20)
Vận tốc của xe máy là: (km/h)
Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là: (h)
Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là: (h)
Do ô tô đến B sớm hơn xe máy 30 phút nên ta có phương trình:
Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Vận tốc của ô tô là: 60 (km/h)
Vận tốc xe máy là : 60 – 20 = 40 (km/h)
Vậy vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là 60 km/h và 40km/h.
2) Quả bóng đá thường được sử dụng trong các trận thi đấu dành cho trẻ em từ 6 tuổi đến 8 tuổi có dạng một hình cầu với bán kính bằng 9,5 cm. Tính diện tích bề mặt của quả bóng đó (lấy )
Diện tích bề mặt của quả bóng đó là:
()
Bài III (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình
Cách giải:
ĐKXĐ:
Ta có:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm .
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol và đường thẳng .
- a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) ta có:
Ta có:
Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt
(d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt (đpcm)
- b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn .
Vì là hoành độ giao điểm của (d) và (P) hay là nghiệm của phương trình (*).
Theo hệ thức Vi – ét, ta có:
Theo giả thiết:
Vậy .
Bài IV (3,0 điểm)
Cách giải:
Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A. Gọi E là một điểm bất kỳ trên tia CA sao cho điểm A nằm giữa hai điểm C và E. Gọi M và H lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm A đến các đường thẳng BC và BE.
- a) Chứng minh tứ giác AMBH là tứ giác nội tiếp.
Ta có: M và H là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm A đến các đường thẳng BC và BE nên:
mà hai góc này đối nhau
là tứ giác nội tiếp (dhnb)
- b) Chứng minh BC.BM = BH.BE và HM là tia phân giác của góc AHB.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC vuông tại A có đường cao AM, ta có:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABE vuông tại A có đường cao AH, ta có:
(đpcm)
Xét tam giác ABC vuông cân tại A:
Ta có
AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác nên
Vì là tứ giác nội tiếp (cmt) nên ta có:
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung MB)
Hay là phân giác góc (đpcm).
- c) Lấy điểm N sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AN. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EN và AB. Chứng minh ba điểm H, K, M là ba điểm thẳng hàng.
Tam giác ABC cân tại A là trung điểm của BC (đường cao đồng thời là trung tuyến)
Vì đối xứng qua nên M là trung điểm của AN.
là hình bình hành.
Lại có nên ABNC là hình vuông (dhnb).
Gọi giao điểm của và là Ta sẽ chứng minh trùng
Theo câu b) ta có là phân giác góc nên:
Xét tam giác và có:
(2 cặp cạnh tương ứng tỷ lệ)
Suy ra (vì do là hình vuông)
Xét tam giác và tam giác có:
Suy ra , mà 2 góc này ở vị trí hai góc đối đỉnh.
thẳng hàng
Suy ra thẳng hàng (đpcm)
Câu V (0,5 điểm)
Cách giải:
Với các số thực không âm và thỏa mãn , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Vì là các số thực không âm nên
Từ điều kiện ta suy ra (vì )
Khi đó:
Vì nên ta có
Vậy GTNN của là , dấu bằng xảy ra khi
